القطوع المخروطية أربع تنشأ من قطع مخروط دائري قائم ذو قاعدتين بمستو فإن كان :-
المستوى عمودياً على المحور كان المقطع دائرة
المستوى ليس عمودياً على المحور وغير موازي لراسمه كان المقطع قطع ناقص
المستوى ليس عمودياً على المحور وموازي لراسم فيه كان المقطع قطع مكافئ
المستوى موازياً المحور كان المقطع قطع زائد
والمقصود بالمقطع هو شكل المنحنى الناتج من تقاطع المستوى مع المخروط والمقطع
الناشئ ليس تعريفا فالدائرة هي المحل الهندسي لنقطة تتحرك على بعد ثابت من نقطة أو
مجموعة نقاط المستوى التي يتساوى بعك كل منها عن نقطة ثابتة في المستوى فالنقطة
الثابتة تعرف بمركز الدائرة والبعد الثابت يعرف بنصف قطر الدائرة ولسنا هنا بصدد ذكر
معلومات عن الدائرة بل سنتطرق للقطوع الثلاثة الأخرى المكافئ و الناقص و الزائد
وبصورة مختصرة مفيدة



















القطـع المكافـئ
هو المحل الهندسي لنقطة تتحرك في المستوى بحيث يكون بعدها عن نقطة ثابتة في المستوى مساويا بعدها عن مستقيم ثابت في المستوى . وتعرف النقطة الثابتة بالبؤرة والمستقيم الثابت بالدليل ورأس القطع المكافئ أما أن يكون نقطة الأصل (0،0) أو أي نقطة في المستوى (د ، هـ ) بنقل المحاور إليها والجدولين الآتيين ملخص عن القطع المكافئ في حالتي الرأس ( 0 ، 0 ) ، ( د ، هـ )

( 0 ، 0 ) نقطة الأصل الرأس
س2 = 4 أ ص ص2 = 4 أ س المعادلة
أ أ > 0 أ < 0 أ > 0 أ < 0
اتجاه الفتحة لليمين اتجاه الفتحة لليسار اتجاه الفتحة لأعلى اتجاه الفتحة لأسفل
البؤرة ( أ ، 0 ) ( - أ ، 0 ) ( 0 ، أ ) ( 0 ، - أ )
الدليل س = - أ س = أ ص = - أ ص = أ
محور التناظر محور السينات محور الصادات

( د ، هـ ) نقطة الأصل الرأس
(س – د) 2 = 4 أ (ص – هـ ) (ص – هـ) 2 = 4 أ (س – د ) المعادلة
أ أ > 0 أ < 0 أ > 0 أ < 0
اتجاه الفتحة لليمين اتجاه الفتحة لليسار اتجاه الفتحة لأعلى اتجاه الفتحة لأسفل
البؤرة ( د + أ ، هـ ) ( د – أ ، هـ ) ( د ، هـ + أ ) ( د ، هـ - أ )
الدليل س = د – أ س = د + أ ص = هـ - أ ص = هـ + أ
محور التناظر ص = هـ س = د





بعد التقديم السابق يجب الاهتمام بالجدول مع أن الجدول الثاني ناتج من الجدول الأول بنقل للنقطة (د ، هـ) لرأس المنحنى فالعملية هي عملية جمع ، لاحظ البؤرة في الجدول الأول (0 ، أ) أضف (د ، هـ) تنتج البؤرة (د ، هـ + أ) المناظرة في الجدول الثاني وكذلك الدليل في الأول ص = أ وهو الإحداثي الصادي فأضف هـ ينتج ص = أ + هـ وقس على ذلك مع أن هذا ليس علماً بقدر ما هو تسهيلاً إجراء عمل ما ، ومعادلة الدرجة الثانية تؤول بإكمال المربع للصورة القياسية للقطع .
س2 + ل س + ك ص + ى = 0 هي (س – د )2 = 4 أ (ص – هـ ) حيث ل = - 2 د ، ك = - 4 أ ، ى = د2 + 4 أ هـ (1)
ص2 + ل ص + ك ص + ى =0 هي (ص – هـ)2 = 4 أ (س – د ) حيث ل = - 2 هـ ، ك = - 4 أ ، ى = هـ2 + 4 أ د (2)
إن معرفة د ، هـ ، أ يعني الحصول على كل ما يتعلق بالقطع المكافئ
مثال : المعادلة ص2 – 10 س + 4 ص – 26 = 0
ص2 + 4 ص = 10 س + 26 بفكرة إكمال المربع لـ ص2 ، 4 ص
ص2 + 4ص + 4 = 10 س + 26 + 4 إضافة 4 للطرفين
(ص + 2)2 = 10(س +3) وهي معادلة قطع مكافئ
رأسه (- 3 ، - 2) ، أ = 2.5 > 0 فالفتحة جهة اليمين
والبؤرة(- 0.5 ، - 2)
معادلة محور تناظره ص = - 2
معادلة دليله س = - 5.5 (د – أ)
لاحظ المعادلة ص2 + 4 ص – 10 س – 26 = 0
فمن (2) – 2 هـ = 4 فإن هـ = -2 ، 4 أ = 10 فإن أ = 2.5
، هـ2 + 4 أ د = - 26 فإن = = - 3 وعليه الرأس ( - 3 ، - 2) ، ....



القطـع الناقص

نشأته وإيجاد معادلته ( برهان)
هو المحل الهندسي لنقطة تتحرك في المستوى بحيث يكون مجموع بعديها عن نقطتين ثابتتين في المستوى ثابتاً . وتعرف النقطتان الثابتتان بأنهما بؤرتي القطع الناقص، والقطع الناقص أما أن يكون مركزه نقطة الأصل (0،0) أو أي نقطة في المستوى (د ، هـ ) بنقل المحاور إليها وللقطع الناقص محورين(أساسي وثانوي أو أكبر وأصغر) ورأسيين ومركز والجدولين الآتيين ملخص عن القطع الناقص

( 0 ، 0 ) نقطة الأصل المركز
المعادلة القياسية للقطع
يقع على المحور الصادي ( طوله = 2 ب ) يقع على المحور السيني ( طوله = 2 أ ) المحور الأكبر
البؤرتان ( حـ ، 0 ) (- حـ ، 0) (0 ، حـ) (0 ، - حـ)
الرأسان ( أ ، 0 ) (- أ ، 0 ) (0 ، أ ) (0 ، - أ )
محور التناظر محور الصادات( س = 0 ) ، محور السينات( ص = 0 )

( د ، هـ ) أي نقطة في المستوى المركز
المعادلة القياسية للقطع
يقع على المحور الصادي ( طوله = 2 ب ) يقع على المحور السيني(طوله = 2 أ ) المحور الأكبر
البؤرتان (د + حـ ، هـ) (د - حـ ، هـ) ( د ، هـ + حـ) ( د ، هـ - حـ)
الرأسان ( د + أ ، هـ ) ( د - أ ، هـ ) ( د ، هـ + أ ) ( د ، هـ - أ )
محور التناظر س = د (موازي محور الصادات) ، ص = هـ (موازي محور السينات)

بعد التقديم السابق يجب الاهتمام بالجدول مع أن الجدول الثاني ناتج من الجدول الأول بنقل للنقطة (د ، هـ) لرأس المنحنى فالعملية هي عملية جمع ، لاحظ البؤرة في الجدول الأول (0 ، أ) أضف (د ، هـ) تنتج البؤرة (د ، هـ + أ) المناظرة في الجدول الثاني وكذلك الرأس في الأول ( أ ، 0 ) فأضف ( د ، هـ ) ينتج ( د + أ ، هـ ) المناظر له في الجدول الثاني وقس على ذلك مع أن هذا ليس علماً بقدر ما هو تسهيلاً إجراء عمل ما
ومعادلة القطع الناقص في الجدول الثاني تؤول إلى الصورة ل س2 + ك ص2 + ن س + ى ص + م = 0 حيث ل ك > 0 أي ل ، ك لهما نفس الإشارة وهي المعادلة العامة للقطع الناقص ويجب استخدام إكمال المربع أو أي طريقة أخرى لوضعها بإحدى الصور السابقة لمعرفة أ ، ب ومنها حـ حيث ا2 = ب2 + حـ2
إن النسبة حـ : أ تسمى الاختلاف المركزي للقطع الناقص ويرمز لها بالرمز e حيث 0 < e < 1
الدائرة حالة خاصة من القطع الناقص ، فإذا كان e = 0 فإن حـ = 0 ومن ا2 = ب2 + حـ2 تكون أ = ب فيصبح القطع الناقص دائرة

مثال : المعادلة 4 س2 + 9 ص2 + 16 س – 18 ص - 11 = 0
س2 + 16 س + 9 ص2 – 18 ص – 11 = 0 بترتيب الرموز
4(س2 + 4 س) + 9( ص2 – 2 ص) – 11 = 0 العامل المشترك
4(س2 + 4 س + 4 - 4) + 9( ص2 – 2 ص +1 - 1) – 11 = 0 إضافة مربع نصف معاملي س ، ص
4(س2 + 4 س + 4) - 16 + 9( ص2 – 2 ص +1) - 9 – 11 = 0 إكمال المربع والتبسيط
4(س + 2)2 + 9(ص – 1)2 = 36 بالقسمة على 36
9 > 4 ، 9 مقام س ... فالمحور الأكبر موازي محور السينات
الرأس ( -2 ، 1)
أ2 = 9 ومنها أ = 3 ، ب2 = 4 ومنها ب = 2
أ2 = ب2 + حـ2 فإن 9=4+حـ2 ومنها حـ =(5) ½
البؤرتان هما ((5)½ - 2 ، 1 ) ، ( - (5)½ - 2 ، 1 )
الرأسان هما ( 3 – 2 ، 1 ) ، ( - 3 –2 ، 1 ) أي ( 1 ، 1 ) ، ( - 5 ، 1 )
محوري التناظر هما س = - 2 ، ص = 1 لاحظ هما إحداثيتي المركز
طرفا المحور الأصغر(المرافق) ( -2 ، 3 ) ، ( -2 ، -1 ) وطوله = 2ب = 2×2=4
طرفا المحور الأكبر(الأساسي ) (1 ، 1 ) ، ( - 5 ، 1 ) وطوله = 2 أ = 2×3=6

القطـع الزائـد / نشأته وإيجاد معادلته( البرهـان )

تعريف : هو المحل الهندسي لنقطة تتحرك في المستوى بحيث تكون القيمة المطلقة للفرق بين بعد كل منها عن نقطتين ثابتتين في المستوى مساويا مقدار ثابت . وتعرف النقطتين الثابتتين ببؤرتي القطع الزائد ومركز القطع الزائد أما نقطة الأصل (0،0) أو أي نقطة في المستوى (د ، هـ ) بنقل المحاور إليها من نقطة الأصل
الجدولين الآتيين ملخص عن القطع الزائد في حالتي المركز ( 0 ، 0 ) ، ( د ، هـ )
( 0 ، 0 ) نقطة الأصل المركز
معادلة القطع القياسية
يقع على المحور الصادي يقع على المحور السيني المحور الأكبر
البؤرتان ( حـ ، 0 ) (- حـ ، 0) (0 ، حـ) (0 ، - حـ)
الرأسان ( أ ، 0 ) (- أ ، 0 ) (0 ، أ ) (0 ، - أ )
الخطوط التقاربية
محورا التناظر محور الصادات( س = 0 ) ، محور السينات( ص = 0 )

( د ، هـ ) أي نقطة في المستوى المركز
معادلة القطع القياسية
موازي المحور الصادي موازي المحور السيني المحور الأكبر
البؤرتان (د + حـ ، هـ) (د - حـ ، هـ) ( د ، هـ + حـ) ( د ، هـ - حـ)
الرأسان ( د + أ ، هـ ) ( د - أ ، هـ ) ( د ، هـ + أ ) ( د ، هـ - أ )
الخطوط التقاربية
محورا التناظر س = د (موازي محور الصادات) ، ص = هـ (موازي محور السينات)

بعد التقديم السابق يجب الاهتمام بالجدول مع أن الجدول الثاني ناتج من الجدول الأول بنقل للنقطة (د ، هـ) مركز القطع فالعملية هي عملية جمع ، لاحظ البؤرة في الجدول الأول (0 ، أ) أضف (د ، هـ) تنتج البؤرة (د ، هـ + أ) المناظرة في الجدول الثاني وكذلك الرأس في الأول ( أ ، 0 ) فأضف ( د ، هـ ) ينتج ( د + أ ، هـ ) المناظر له في الجدول الثاني وقس على ذلك مع أن هذا ليس علماً بقدر ما هو تسهيلاً لإجراء عمل ما
ومعادلة القطع الزائد في الجدول الثاني تؤول إلى الصورة ل س2 + ك ص2 + ن س + ى ص + م = 0 حيث ل ك < 0 أي ل ، ك مختلفا الإشارة وهي المعادلة العامة للقطع الزائد ويجب استخدام إكمال المربع أو أي طريقة أخرى لوضعها بإحدى الصور السابقة لمعرفة أ ، ب ومنها حـ حيث حـ2 = ا2 + ب2
إن النسبة حـ : أ تسمى الاختلاف المركزي للقطع الزائد ويرمز لها بالرمز e حيث 0 < e < 1
مثال : المعادلة 4س2 ـ ص2 – 16 س ـ 2 ص ـ 19 = 0
4س2 – 16 س ـ ص2 ـ2 ص ـ 19 = 0 ترتيب
4(س2 ـ 4 س) –( (ص2 + 2 ص) ـ 19 = 0 تجميع
4(س2ـ 4 س + 4 ـ 4 )– (ص2 + 2 ص + 1ـ1)ـ19 =0 إضافة
4(س ـ 2)2 ـ 16 – (ص + 1)2ـ1ـ19 =0 مربع كامل وتجميع
4(س ـ 2)2 – (ص + 1)2 ـ 36 = 0 نقل
4(س ـ 2)2 – (ص + 1)2 = 36 القسمة على 36

هذه معادلة قطع زائد مركزه (2 ، ـ1) محوره يوازي محور السينات
أ2 = 9 فإن أ = 3 ، ب2 = 36 فإن ب = 6 ،
حـ2 = 9 + 36 = 45 فإن حـ = 3(5)½
الرأسان هما ( 3+2 ، -1) ، ( -3+2 ، -1) أي (5 ، -1) ، ( -1 ، -1)
البؤرتان هما (3(5) ½ + 2 ، -1) ، (-3(5) ½ +2 ، -1)
الخطوط التقاربية هما (ص + 1) = 2( س ـ 2) ، (ص + 1) = ـ 2(س ـ 2) أي ص ـ 2 س + 5 = 0 ، ص + 2 س ـ 3 = 0
الاختلاف المركزي هو حـ : أ أي 3(5)½ : 3 أي (5) ½
لاحظ :
1) العلاقة بين أ ، ب ، حـ هي حـ2 - أ2 = ب2 ولا توجد علاقة بين أ ، ب كما هي في القطع الناقص يكون أ > ب
2) الخطوط التقاربية للقطع لا تقطع المحور الصادي إلا في ما لانهاية
3) معادلات الخطوط التقاربية تنتج من المعادلة القياسية للقطع فمثلاً
س2/أ2 - ص2/ب2 = 1
ص2 = ب2 ( س2/أ2 – 1 )
= ب2/أ2 ( س2 – أ2 )
ص= ± ب/أ ( س2 – أ2 ) ½
ص= ± (ب/أ)س ( 1 – أ2/ س2) ½ عندما س تؤول إلى ما نهاية فإن أ2/ س2 يؤول للصفر ، ص = ± (ب/أ)س